Επίλυση 12k^2+15k-27

$$12 k ^ { 2 } + 15 k - 27$$

Παράγοντας

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 3.

$$3\left(4k^{2}+5k-9\right)$$

Υπολογίστε 4k^{2}+5k-9. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4k^{2}+ak+bk-9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-4 b=9$$

Γράψτε πάλι το 4k^{2}+5k-9 ως \left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right).

$$\left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4k στο πρώτο και στο 9 της δεύτερης ομάδας.

$$4k\left(k-1\right)+9\left(k-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο k-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12k^{2}+15k-27=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$k=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Υψώστε το 15 στο τετράγωνο.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-48\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί -27.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225+1296}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 225 και το 1296.

$$k=\frac{-15±\sqrt{1521}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1521.

$$k=\frac{-15±39}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$k=\frac{-15±39}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-15±39}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -15 και το 39.

$$k=\frac{24}{24}$$

Διαιρέστε το 24 με το 24.

$$k=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-15±39}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 39 από -15.

$$k=-\frac{54}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-54}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$k=-\frac{9}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 1 με το x_{1} και το -\frac{9}{4} με το x_{2}.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k-\left(-\frac{9}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k+\frac{9}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{9}{4} και το k βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\times \frac{4k+9}{4}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε 12 και 4.

$$12k^{2}+15k-27=3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Υπολογισμός

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$