Επίλυση 12g^2+80g+48

$$12 g ^ { 2 } + 80 g + 48$$

Παράγοντας

$$4\left(g+6\right)\left(3g+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 4.

$$4\left(3g^{2}+20g+12\right)$$

Υπολογίστε 3g^{2}+20g+12. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3g^{2}+ag+bg+12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=20 ab=3\times 12=36$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 20.

$$a=2 b=18$$

Γράψτε πάλι το 3g^{2}+20g+12 ως \left(3g^{2}+2g\right)+\left(18g+12\right).

$$\left(3g^{2}+2g\right)+\left(18g+12\right)$$

Παραγοντοποιήστε g στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$g\left(3g+2\right)+6\left(3g+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3g+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3g+2\right)\left(g+6\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$4\left(3g+2\right)\left(g+6\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12g^{2}+80g+48=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$g=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 12\times 48}}{2\times 12}$$

Υψώστε το 80 στο τετράγωνο.

$$g=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 12\times 48}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$g=\frac{-80±\sqrt{6400-48\times 48}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί 48.

$$g=\frac{-80±\sqrt{6400-2304}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 6400 και το -2304.

$$g=\frac{-80±\sqrt{4096}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4096.

$$g=\frac{-80±64}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$g=\frac{-80±64}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση g=\frac{-80±64}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -80 και το 64.

$$g=-\frac{16}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$g=-\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση g=\frac{-80±64}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 64 από -80.

$$g=-\frac{144}{24}$$

Διαιρέστε το -144 με το 24.

$$g=-6$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{2}{3} με το x_{1} και το -6 με το x_{2}.

$$12g^{2}+80g+48=12\left(g-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(g-\left(-6\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12g^{2}+80g+48=12\left(g+\frac{2}{3}\right)\left(g+6\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το g βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12g^{2}+80g+48=12\times \frac{3g+2}{3}\left(g+6\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 12 και 3.

$$12g^{2}+80g+48=4\left(3g+2\right)\left(g+6\right)$$

Υπολογισμός

$$4\left(g+6\right)\left(3g+2\right)$$