Επίλυση 12c^2+11c-15

$$12 c ^ { 2 } + 11 c - 15$$

Παράγοντας

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12c^{2}+ac+bc-15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=-9 b=20$$

Γράψτε πάλι το 12c^{2}+11c-15 ως \left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right).

$$\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3c στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$3c\left(4c-3\right)+5\left(4c-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4c-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12c^{2}+11c-15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$c=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί -15.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 121 και το 720.

$$c=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 841.

$$c=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$c=\frac{-11±29}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση c=\frac{-11±29}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 29.

$$c=\frac{18}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{18}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$c=\frac{3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση c=\frac{-11±29}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 29 από -11.

$$c=-\frac{40}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-40}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$c=-\frac{5}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{4} με το x_{1} και το -\frac{5}{3} με το x_{2}.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Αφαιρέστε c από \frac{3}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{3} και το c βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\times \frac{3c+5}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{4c-3}{4} επί \frac{3c+5}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{4\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 3.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{12}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 12 σε 12 και 12.

$$12c^{2}+11c-15=\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$