Επίλυση 12a^2-a-6

$$12 a ^ { 2 } - a - 6$$

Παράγοντας

$$\left(4a-3\right)\left(3a+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12a^{2}+pa+qa-6. Για να βρείτε p και q, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$p+q=-1 pq=12\left(-6\right)=-72$$

Εφόσον το pq είναι αρνητικό, οι p και q έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το p+q είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$p=-9 q=8$$

Γράψτε πάλι το 12a^{2}-a-6 ως \left(12a^{2}-9a\right)+\left(8a-6\right).

$$\left(12a^{2}-9a\right)+\left(8a-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3a στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3a\left(4a-3\right)+2\left(4a-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4a-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4a-3\right)\left(3a+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12a^{2}-a-6=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί -6.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 1 και το 288.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$a=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 12}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$a=\frac{1±17}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$a=\frac{1±17}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{1±17}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 17.

$$a=\frac{18}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{18}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$a=\frac{3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{1±17}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από 1.

$$a=-\frac{16}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$a=-\frac{2}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{3}{4} με το x_{1} και το -\frac{2}{3} με το x_{2}.

$$12a^{2}-a-6=12\left(a-\frac{3}{4}\right)\left(a-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12a^{2}-a-6=12\left(a-\frac{3}{4}\right)\left(a+\frac{2}{3}\right)$$

Αφαιρέστε a από \frac{3}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12a^{2}-a-6=12\times \frac{4a-3}{4}\left(a+\frac{2}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το a βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12a^{2}-a-6=12\times \frac{4a-3}{4}\times \frac{3a+2}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{4a-3}{4} επί \frac{3a+2}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$12a^{2}-a-6=12\times \frac{\left(4a-3\right)\left(3a+2\right)}{4\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 3.

$$12a^{2}-a-6=12\times \frac{\left(4a-3\right)\left(3a+2\right)}{12}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 12 σε 12 και 12.

$$12a^{2}-a-6=\left(4a-3\right)\left(3a+2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(4a-3\right)\left(3a+2\right)$$