Επίλυση 12a^2-10a-42

$$12 a ^ { 2 } - 10 a - 42$$

Παράγοντας

$$2\left(3a-7\right)\left(2a+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 2.

$$2\left(6a^{2}-5a-21\right)$$

Υπολογίστε 6a^{2}-5a-21. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6a^{2}+pa+qa-21. Για να βρείτε p και q, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$p+q=-5 pq=6\left(-21\right)=-126$$

Εφόσον το pq είναι αρνητικό, οι p και q έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το p+q είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$p=-14 q=9$$

Γράψτε πάλι το 6a^{2}-5a-21 ως \left(6a^{2}-14a\right)+\left(9a-21\right).

$$\left(6a^{2}-14a\right)+\left(9a-21\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2a στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2a\left(3a-7\right)+3\left(3a-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3a-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3a-7\right)\left(2a+3\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$2\left(3a-7\right)\left(2a+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12a^{2}-10a-42=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 12\left(-42\right)}}{2\times 12}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 12\left(-42\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-48\left(-42\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί -42.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2016}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 100 και το 2016.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2116}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2116.

$$a=\frac{-\left(-10\right)±46}{2\times 12}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$a=\frac{10±46}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$a=\frac{10±46}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{10±46}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 46.

$$a=\frac{56}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{56}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$a=\frac{7}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{10±46}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 46 από 10.

$$a=-\frac{36}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-36}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$a=-\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{7}{3} με το x_{1} και το -\frac{3}{2} με το x_{2}.

$$12a^{2}-10a-42=12\left(a-\frac{7}{3}\right)\left(a-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12a^{2}-10a-42=12\left(a-\frac{7}{3}\right)\left(a+\frac{3}{2}\right)$$

Αφαιρέστε a από \frac{7}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12a^{2}-10a-42=12\times \frac{3a-7}{3}\left(a+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το a βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12a^{2}-10a-42=12\times \frac{3a-7}{3}\times \frac{2a+3}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3a-7}{3} επί \frac{2a+3}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$12a^{2}-10a-42=12\times \frac{\left(3a-7\right)\left(2a+3\right)}{3\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 2.

$$12a^{2}-10a-42=12\times \frac{\left(3a-7\right)\left(2a+3\right)}{6}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 12 και 6.

$$12a^{2}-10a-42=2\left(3a-7\right)\left(2a+3\right)$$

Υπολογισμός

$$12a^{2}-10a-42$$