Επίλυση 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Λύση ως προς n

$$n=6$$

$$n=15$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 12 με το n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Αφαιρέστε 30 από -48 για να λάβετε -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Αφαιρέστε n^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Προσθήκη 9n και στις δύο πλευρές.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Συνδυάστε το 12n και το 9n για να λάβετε 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Αφαιρέστε 12 από -78 για να λάβετε -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -n^{2}+an+bn-90. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 21.

$$a=15 b=6$$

Γράψτε πάλι το -n^{2}+21n-90 ως \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Παραγοντοποιήστε -n στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-15 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-15=0 και -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 12 με το n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Αφαιρέστε 30 από -48 για να λάβετε -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Αφαιρέστε n^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Προσθήκη 9n και στις δύο πλευρές.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Συνδυάστε το 12n και το 9n για να λάβετε 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Αφαιρέστε 12 από -78 για να λάβετε -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 21 και το c με -90 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 21 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 441 και το -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-21±9}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -21 και το 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Διαιρέστε το -12 με το -2.

$$n=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-21±9}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Διαιρέστε το -30 με το -2.

$$n=15$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=6 n=15$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 12 με το n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Αφαιρέστε 30 από -48 για να λάβετε -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Αφαιρέστε n^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Προσθήκη 9n και στις δύο πλευρές.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Συνδυάστε το 12n και το 9n για να λάβετε 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Προσθήκη 78 και στις δύο πλευρές.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Προσθέστε 12 και 78 για να λάβετε 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Διαιρέστε το 21 με το -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Διαιρέστε το 90 με το -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Διαιρέστε το -21, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{21}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{21}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{21}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Προσθέστε το -90 και το \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Παραγον n^{2}-21n+\frac{441}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Προσθέστε \frac{21}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=15 n=6$$