Επίλυση 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Παράγοντας

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12z^{2}+az+bz-12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-16 b=9$$

Γράψτε πάλι το 12z^{2}-7z-12 ως \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 4z στην πρώτη και το 3 στη δεύτερη ομάδα.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3z-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 49 και το 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{7±25}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{32}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{7±25}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 25 από 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{4}{3} με x_{1} και το -\frac{3}{4} με x_{2}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Αφαιρέστε z από \frac{4}{3} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{4} και το z βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3z-4}{3} επί \frac{4z+3}{4} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Απαλοιφή του 12, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 12 και 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$