Επίλυση 12x^2-88x+400=0

$$12 { x }^{ 2 } -88x+400 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}\approx 3,666666667+4,459696053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}\approx 3,666666667-4,459696053i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 12, το b με -88 και το c με 400 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{\left(-88\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Υψώστε το -88 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-48\times 400}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί 400.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-19200}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 7744 και το -19200.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{-11456}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -11456.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -88 είναι 88.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 88 και το 8i\sqrt{179}.

$$x=\frac{88+8\sqrt{179}i}{24}$$

Διαιρέστε το 88+8i\sqrt{179} με το 24.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8i\sqrt{179} από 88.

$$x=\frac{-8\sqrt{179}i+88}{24}$$

Διαιρέστε το 88-8i\sqrt{179} με το 24.

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

Αφαιρέστε 400 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$12x^{2}-88x+400-400=-400$$

Η αφαίρεση του 400 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$12x^{2}-88x=-400$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 12.

$$\frac{12x^{2}-88x}{12}=-\frac{400}{12}$$

Η διαίρεση με το 12 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{88}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-88}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{400}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-400}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{100}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{22}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{121}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{100}{3} και το \frac{121}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{179}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{179}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{179}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{\sqrt{179}i}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{\sqrt{179}i}{3}$$

Προσθέστε \frac{11}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$