Επίλυση 12x^2+80x+100

$$12 { x }^{ 2 } +80x+100$$

Παράγοντας

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 4.

$$4\left(3x^{2}+20x+25\right)$$

Υπολογίστε 3x^{2}+20x+25. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+25. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=20 ab=3\times 25=75$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 20.

$$a=5 b=15$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+20x+25 ως \left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+80x+100=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

Υψώστε το 80 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-48\times 100}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί 100.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4800}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 6400 και το -4800.

$$x=\frac{-80±\sqrt{1600}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1600.

$$x=\frac{-80±40}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$x=\frac{-80±40}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-80±40}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -80 και το 40.

$$x=-\frac{40}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-40}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-80±40}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 40 από -80.

$$x=-\frac{120}{24}$$

Διαιρέστε το -120 με το 24.

$$x=-5$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{5}{3} με το x_{1} και το -5 με το x_{2}.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x+5\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$12x^{2}+80x+100=12\times \frac{3x+5}{3}\left(x+5\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 12 και 3.

$$12x^{2}+80x+100=4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$