Επίλυση 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12x^{2}+ax+bx+5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 32.

$$a=2 b=30$$

Γράψτε πάλι το 12x^{2}+32x+5 ως \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην πρώτη και το 5 στη δεύτερη ομάδα.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 6x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 6x+1=0 και 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 12, το b με 32 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Υψώστε το 32 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 1024 και το -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-32±28}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -32 και το 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-32±28}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 28 από -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-60}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Η διαίρεση με το 12 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{32}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Διαιρέστε το \frac{8}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{4}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{4}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{4}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{12} και το \frac{16}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{4}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$