Επίλυση 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 12x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=4 b=9$$

Γράψτε πάλι το 12x^{2}+13x+3 ως \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x+1=0 και 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 12, το b με 13 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το -48 επί 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Προσθέστε το 169 και το -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±5}{24} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±5}{24} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Η αφαίρεση του 3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

Η διαίρεση με το 12 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-3}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Διαιρέστε το \frac{13}{12}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{13}{24}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{13}{24} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{13}{24} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{4} και το \frac{169}{576} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Παραγον x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Αφαιρέστε \frac{13}{24} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$