Επίλυση 110x-10x^2=2800

$$110x-10 { x }^{ 2 } =2800$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}\approx 5,5+15,803480629i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}\approx 5,5-15,803480629i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-10x^{2}+110x=2800$$

Αφαιρέστε 2800 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-10x^{2}+110x-2800=2800-2800$$

Η αφαίρεση του 2800 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-10x^{2}+110x-2800=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -10, το b με 110 και το c με -2800 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\left(-10\right)\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Υψώστε το 110 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\left(-10\right)\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -10.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100+40\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 40 επί -2800.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-112000}}{2\left(-10\right)}$$

Προσθέστε το 12100 και το -112000.

$$x=\frac{-110±\sqrt{-99900}}{2\left(-10\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -99900.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{2\left(-10\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -10.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -110 και το 30i\sqrt{111}.

$$x=\frac{-110+30\sqrt{111}i}{-20}$$

Διαιρέστε το -110+30i\sqrt{111} με το -20.

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 30i\sqrt{111} από -110.

$$x=\frac{-30\sqrt{111}i-110}{-20}$$

Διαιρέστε το -110-30i\sqrt{111} με το -20.

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2} x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-10x^{2}+110x=2800$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -10.

$$\frac{-10x^{2}+110x}{-10}=\frac{2800}{-10}$$

Η διαίρεση με το -10 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -10.

$$x^{2}+\frac{110}{-10}x=\frac{2800}{-10}$$

Διαιρέστε το 110 με το -10.

$$x^{2}-11x=\frac{2800}{-10}$$

Διαιρέστε το 2800 με το -10.

$$x^{2}-11x=-280$$

Διαιρέστε το -11, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-280+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-280+\frac{121}{4}$$

Προσθέστε το -280 και το \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-\frac{999}{4}$$

Παραγον x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=-\frac{999}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{999}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3\sqrt{111}i}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3\sqrt{111}i}{2}$$

Προσθέστε \frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}$$