Επίλυση 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Λύση ως προς y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 3y^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3y^{2}+ay+by+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=12 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -3y^{2}+11y+4 ως \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3y στην εξίσωση -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -y+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -y+4=0 και 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 3y^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με 11 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 121 και το 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-11±13}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{-6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-11±13}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Διαιρέστε το -24 με το -6.

$$y=4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 3y^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Διαιρέστε το 11 με το -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Διαιρέστε το -4 με το -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{11}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Προσθέστε το \frac{4}{3} και το \frac{121}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Παραγον y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Προσθέστε \frac{11}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$