Επίλυση 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0,454545455+0,987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0,454545455-0,987525499i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 11, το b με -10 και το c με 13 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Πολλαπλασιάστε το -44 επί 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Προσθέστε το 100 και το -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Διαιρέστε το 10+2i\sqrt{118} με το 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{118} από 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Διαιρέστε το 10-2i\sqrt{118} με το 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Αφαιρέστε 13 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Η αφαίρεση του 13 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

Η διαίρεση με το 11 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 11.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Διαιρέστε το -\frac{10}{11}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{11}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{11} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{11} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Προσθέστε το -\frac{13}{11} και το \frac{25}{121} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Παραγον x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Προσθέστε \frac{5}{11} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$