Επίλυση 11x^2+140x-196=

$$11 { x }^{ 2 } +140x-196=$$

Παράγοντας

$$\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 11x^{2}+ax+bx-196. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=140 ab=11\left(-196\right)=-2156$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -2156.

$$-1,2156 -2,1078 -4,539 -7,308 -11,196 -14,154 -22,98 -28,77 -44,49$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+2156=2155 -2+1078=1076 -4+539=535 -7+308=301 -11+196=185 -14+154=140 -22+98=76 -28+77=49 -44+49=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 140.

$$a=-14 b=154$$

Γράψτε πάλι το 11x^{2}+140x-196 ως \left(11x^{2}-14x\right)+\left(154x-196\right).

$$\left(11x^{2}-14x\right)+\left(154x-196\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 14 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(11x-14\right)+14\left(11x-14\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 11x-14 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}+140x-196=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-140±\sqrt{140^{2}-4\times 11\left(-196\right)}}{2\times 11}$$

Υψώστε το 140 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-4\times 11\left(-196\right)}}{2\times 11}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 11.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-44\left(-196\right)}}{2\times 11}$$

Πολλαπλασιάστε το -44 επί -196.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+8624}}{2\times 11}$$

Προσθέστε το 19600 και το 8624.

$$x=\frac{-140±\sqrt{28224}}{2\times 11}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 28224.

$$x=\frac{-140±168}{2\times 11}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 11.

$$x=\frac{-140±168}{22}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-140±168}{22} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -140 και το 168.

$$x=\frac{28}{22}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{28}{22} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{14}{11}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-140±168}{22} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 168 από -140.

$$x=-\frac{308}{22}$$

Διαιρέστε το -308 με το 22.

$$x=-14$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{14}{11} με x_{1} και το -14 με x_{2}.

$$11x^{2}+140x-196=11\left(x-\frac{14}{11}\right)\left(x-\left(-14\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$11x^{2}+140x-196=11\left(x-\frac{14}{11}\right)\left(x+14\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{14}{11} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$11x^{2}+140x-196=11\times \frac{11x-14}{11}\left(x+14\right)$$

Απαλοιφή του 11, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 11 και 11.

$$11x^{2}+140x-196=\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$