Επίλυση 100y^2-60y+9=1

$$100 y ^ { 2 } - 60 y + 9 = 1$$

Λύση ως προς y

$$y=\frac{1}{5}=0,2$$

$$y=\frac{2}{5}=0,4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$100y^{2}-60y+9-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από 9 για να λάβετε 8.

$$100y^{2}-60y+8=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$25y^{2}-15y+2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 25y^{2}+ay+by+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-15 ab=25\times 2=50$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 50.

$$-1,-50 -2,-25 -5,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-50=-51 -2-25=-27 -5-10=-15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -15.

$$a=-10 b=-5$$

Γράψτε πάλι το 25y^{2}-15y+2 ως \left(25y^{2}-10y\right)+\left(-5y+2\right).

$$\left(25y^{2}-10y\right)+\left(-5y+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5y στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$5y\left(5y-2\right)-\left(5y-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5y-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5y-2\right)\left(5y-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5y-2=0 και 5y-1=0.

$$y=\frac{2}{5} y=\frac{1}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$100y^{2}-60y+9=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$100y^{2}-60y+9-1=1-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$100y^{2}-60y+9-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από 9.

$$100y^{2}-60y+8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 100, το b με -60 και το c με 8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 100\times 8}}{2\times 100}$$

Υψώστε το -60 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 100\times 8}}{2\times 100}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 100.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-400\times 8}}{2\times 100}$$

Πολλαπλασιάστε το -400 επί 8.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3200}}{2\times 100}$$

Προσθέστε το 3600 και το -3200.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{400}}{2\times 100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 400.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±20}{2\times 100}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -60 είναι 60.

$$y=\frac{60±20}{2\times 100}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 100.

$$y=\frac{60±20}{200}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{60±20}{200} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 60 και το 20.

$$y=\frac{80}{200}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{80}{200} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 40.

$$y=\frac{2}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{60±20}{200} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20 από 60.

$$y=\frac{40}{200}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{40}{200} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 40.

$$y=\frac{1}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=\frac{2}{5} y=\frac{1}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$100y^{2}-60y+9=1$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$100y^{2}-60y+9-9=1-9$$

Η αφαίρεση του 9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$100y^{2}-60y=1-9$$

Αφαιρέστε 9 από 1.

$$100y^{2}-60y=-8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 100.

$$\frac{100y^{2}-60y}{100}=-\frac{8}{100}$$

Η διαίρεση με το 100 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 100.

$$y^{2}+\left(-\frac{60}{100}\right)y=-\frac{8}{100}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-60}{100} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 20.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=-\frac{8}{100}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{100} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=-\frac{2}{25}$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{2}{25}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=-\frac{2}{25}+\frac{9}{100}$$

Προσθέστε το -\frac{2}{25} και το \frac{9}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{1}{100}$$

Παραγον y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{1}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{1}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{1}{10}$$

Προσθέστε \frac{3}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=\frac{2}{5} y=\frac{1}{5}$$