Επίλυση 100w^2+115w+30=

$$100 w ^ { 2 } + 115 w + 30 =$$

Παράγοντας

$$5\left(4w+3\right)\left(5w+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 5.

$$5\left(20w^{2}+23w+6\right)$$

Υπολογίστε 20w^{2}+23w+6. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 20w^{2}+aw+bw+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=23 ab=20\times 6=120$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 23.

$$a=8 b=15$$

Γράψτε πάλι το 20w^{2}+23w+6 ως \left(20w^{2}+8w\right)+\left(15w+6\right).

$$\left(20w^{2}+8w\right)+\left(15w+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4w στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$4w\left(5w+2\right)+3\left(5w+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5w+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5w+2\right)\left(4w+3\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$5\left(5w+2\right)\left(4w+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$100w^{2}+115w+30=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$w=\frac{-115±\sqrt{115^{2}-4\times 100\times 30}}{2\times 100}$$

Υψώστε το 115 στο τετράγωνο.

$$w=\frac{-115±\sqrt{13225-4\times 100\times 30}}{2\times 100}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 100.

$$w=\frac{-115±\sqrt{13225-400\times 30}}{2\times 100}$$

Πολλαπλασιάστε το -400 επί 30.

$$w=\frac{-115±\sqrt{13225-12000}}{2\times 100}$$

Προσθέστε το 13225 και το -12000.

$$w=\frac{-115±\sqrt{1225}}{2\times 100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1225.

$$w=\frac{-115±35}{2\times 100}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 100.

$$w=\frac{-115±35}{200}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση w=\frac{-115±35}{200} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -115 και το 35.

$$w=-\frac{80}{200}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-80}{200} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 40.

$$w=-\frac{2}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση w=\frac{-115±35}{200} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 35 από -115.

$$w=-\frac{150}{200}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-150}{200} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 50.

$$w=-\frac{3}{4}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{2}{5} με το x_{1} και το -\frac{3}{4} με το x_{2}.

$$100w^{2}+115w+30=100\left(w-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(w-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$100w^{2}+115w+30=100\left(w+\frac{2}{5}\right)\left(w+\frac{3}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{5} και το w βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$100w^{2}+115w+30=100\times \frac{5w+2}{5}\left(w+\frac{3}{4}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{4} και το w βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$100w^{2}+115w+30=100\times \frac{5w+2}{5}\times \frac{4w+3}{4}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5w+2}{5} επί \frac{4w+3}{4} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$100w^{2}+115w+30=100\times \frac{\left(5w+2\right)\left(4w+3\right)}{5\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 4.

$$100w^{2}+115w+30=100\times \frac{\left(5w+2\right)\left(4w+3\right)}{20}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 20 σε 100 και 20.

$$100w^{2}+115w+30=5\left(5w+2\right)\left(4w+3\right)$$

Υπολογισμός

$$100w^{2}+115w+30$$