Επίλυση 100+x^2-20x=81x

$$100 + x ^ { 2 } - 20 x = 81 x$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=100$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Αφαιρέστε 81x και από τις δύο πλευρές.

$$100+x^{2}-20x-81x=0$$

Συνδυάστε το -20x και το -81x για να λάβετε -101x.

$$100+x^{2}-101x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}-101x+100=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-101x+100 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-101 ab=100$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -101.

$$a=-100 b=-1$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-100\right)\left(x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-100=0 και x-1=0.

$$x=100 x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 81x και από τις δύο πλευρές.

$$100+x^{2}-20x-81x=0$$

Συνδυάστε το -20x και το -81x για να λάβετε -101x.

$$100+x^{2}-101x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}-101x+100=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+100. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-101 ab=1\times 100=100$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -101.

$$a=-100 b=-1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-101x+100 ως \left(x^{2}-100x\right)+\left(-x+100\right).

$$\left(x^{2}-100x\right)+\left(-x+100\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-100\right)-\left(x-100\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-100 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-100\right)\left(x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-100=0 και x-1=0.

$$x=100 x=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 81x και από τις δύο πλευρές.

$$100+x^{2}-20x-81x=0$$

Συνδυάστε το -20x και το -81x για να λάβετε -101x.

$$100+x^{2}-101x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-101x+100=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -101 και το c με 100 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-101\right)±\sqrt{\left(-101\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

Υψώστε το -101 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-101\right)±\sqrt{10201-4\times 100}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 100.

$$x=\frac{-\left(-101\right)±\sqrt{10201-400}}{2}$$

Προσθέστε το 10201 και το -400.

$$x=\frac{-\left(-101\right)±\sqrt{9801}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9801.

$$x=\frac{-\left(-101\right)±99}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -101 είναι 101.

$$x=\frac{101±99}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{101±99}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 101 και το 99.

$$x=\frac{200}{2}$$

Διαιρέστε το 200 με το 2.

$$x=100$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{101±99}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 99 από 101.

$$x=\frac{2}{2}$$

Διαιρέστε το 2 με το 2.

$$x=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=100 x=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 81x και από τις δύο πλευρές.

$$100+x^{2}-20x-81x=0$$

Συνδυάστε το -20x και το -81x για να λάβετε -101x.

$$100+x^{2}-101x=0$$

Αφαιρέστε 100 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$x^{2}-101x=-100$$

Διαιρέστε το -101, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{101}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{101}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-101x+\left(-\frac{101}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{101}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{101}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-101x+\frac{10201}{4}=-100+\frac{10201}{4}$$

Προσθέστε το -100 και το \frac{10201}{4}.

$$x^{2}-101x+\frac{10201}{4}=\frac{9801}{4}$$

Παραγον x^{2}-101x+\frac{10201}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{101}{2}\right)^{2}=\frac{9801}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{101}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9801}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{101}{2}=\frac{99}{2} x-\frac{101}{2}=-\frac{99}{2}$$

Προσθέστε \frac{101}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=100 x=1$$