Επίλυση 10y^2-31y+15

$$10 y ^ { 2 } - 31 y + 15$$

Παράγοντας

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10y^{2}+ay+by+15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-31 ab=10\times 15=150$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 150.

$$-1,-150 -2,-75 -3,-50 -5,-30 -6,-25 -10,-15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-150=-151 -2-75=-77 -3-50=-53 -5-30=-35 -6-25=-31 -10-15=-25$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -31.

$$a=-25 b=-6$$

Γράψτε πάλι το 10y^{2}-31y+15 ως \left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right).

$$\left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5y στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$5y\left(2y-5\right)-3\left(2y-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2y-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$10y^{2}-31y+15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Υψώστε το -31 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-40\times 15}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί 15.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-600}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 961 και το -600.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{361}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 361.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±19}{2\times 10}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -31 είναι 31.

$$y=\frac{31±19}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$y=\frac{31±19}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{31±19}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 31 και το 19.

$$y=\frac{50}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{50}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$y=\frac{5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{31±19}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 19 από 31.

$$y=\frac{12}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y=\frac{3}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{5}{2} με το x_{1} και το \frac{3}{5} με το x_{2}.

$$10y^{2}-31y+15=10\left(y-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{5}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{3}{5} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\times \frac{5y-3}{5}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2y-5}{2} επί \frac{5y-3}{5} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{10}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 10 σε 10 και 10.

$$10y^{2}-31y+15=\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$