Επίλυση 10y^2+3y-4

$$10 y ^ { 2 } + 3 y - 4$$

Παράγοντας

$$\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10y^{2}+ay+by-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=10\left(-4\right)=-40$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-5 b=8$$

Γράψτε πάλι το 10y^{2}+3y-4 ως \left(10y^{2}-5y\right)+\left(8y-4\right).

$$\left(10y^{2}-5y\right)+\left(8y-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5y στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$5y\left(2y-1\right)+4\left(2y-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2y-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$10y^{2}+3y-4=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 10\left(-4\right)}}{2\times 10}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 10\left(-4\right)}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-40\left(-4\right)}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί -4.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 9 και το 160.

$$y=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$y=\frac{-3±13}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$y=\frac{-3±13}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-3±13}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 13.

$$y=\frac{10}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$y=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-3±13}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -3.

$$y=-\frac{16}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y=-\frac{4}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{2} με το x_{1} και το -\frac{4}{5} με το x_{2}.

$$10y^{2}+3y-4=10\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$10y^{2}+3y-4=10\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{4}{5}\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{1}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{2y-1}{2}\left(y+\frac{4}{5}\right)$$

Προσθέστε το \frac{4}{5} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{2y-1}{2}\times \frac{5y+4}{5}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2y-1}{2} επί \frac{5y+4}{5} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$10y^{2}+3y-4=10\times \frac{\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)}{10}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 10 σε 10 και 10.

$$10y^{2}+3y-4=\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2y-1\right)\left(5y+4\right)$$