Επίλυση 10y^2+13y+4=0

$$10 y ^ { 2 } + 13 y + 4 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10y^{2}+ay+by+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=10\times 4=40$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 40.

$$1,40 2,20 4,10 5,8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+40=41 2+20=22 4+10=14 5+8=13$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=5 b=8$$

Γράψτε πάλι το 10y^{2}+13y+4 ως \left(10y^{2}+5y\right)+\left(8y+4\right).

$$\left(10y^{2}+5y\right)+\left(8y+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5y στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$5y\left(2y+1\right)+4\left(2y+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2y+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2y+1\right)\left(5y+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2y+1=0 και 5y+4=0.

$$y=-\frac{1}{2} y=-\frac{4}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$10y^{2}+13y+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 10, το b με 13 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 10\times 4}}{2\times 10}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 10\times 4}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-40\times 4}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί 4.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-160}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 169 και το -160.

$$y=\frac{-13±\sqrt{9}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$y=\frac{-13±3}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$y=\frac{-13±3}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-13±3}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 3.

$$y=-\frac{10}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-13±3}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από -13.

$$y=-\frac{16}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y=-\frac{4}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=-\frac{1}{2} y=-\frac{4}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$10y^{2}+13y+4=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$10y^{2}+13y+4-4=-4$$

Η αφαίρεση του 4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$10y^{2}+13y=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 10.

$$\frac{10y^{2}+13y}{10}=-\frac{4}{10}$$

Η διαίρεση με το 10 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 10.

$$y^{2}+\frac{13}{10}y=-\frac{4}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y^{2}+\frac{13}{10}y=-\frac{2}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{13}{10}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{13}{20}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{13}{20} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}+\frac{13}{10}y+\left(\frac{13}{20}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(\frac{13}{20}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{13}{20} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}+\frac{13}{10}y+\frac{169}{400}=-\frac{2}{5}+\frac{169}{400}$$

Προσθέστε το -\frac{2}{5} και το \frac{169}{400} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$y^{2}+\frac{13}{10}y+\frac{169}{400}=\frac{9}{400}$$

Παραγον y^{2}+\frac{13}{10}y+\frac{169}{400}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{13}{20}\right)^{2}=\frac{9}{400}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y+\frac{13}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{400}}$$

Απλοποιήστε.

$$y+\frac{13}{20}=\frac{3}{20} y+\frac{13}{20}=-\frac{3}{20}$$

Αφαιρέστε \frac{13}{20} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=-\frac{1}{2} y=-\frac{4}{5}$$