Επίλυση 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10x^{2}+ax+bx-12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=-8 b=15$$

Γράψτε πάλι το 10x^{2}+7x-12 ως \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x-4=0 και 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 10, το b με 7 και το c με -12 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 49 και το 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±23}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±23}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 23 από -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Προσθέστε 12 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Η αφαίρεση του -12 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Αφαιρέστε -12 από 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Η διαίρεση με το 10 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{7}{10}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{20}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{20} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{20} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Προσθέστε το \frac{6}{5} και το \frac{49}{400} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Παραγον x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{20} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$