Επίλυση 10x^2+33x+20

$$10 x ^ { 2 } + 33 x + 20$$

Παράγοντας

$$\left(2x+5\right)\left(5x+4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10x^{2}+ax+bx+20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=33 ab=10\times 20=200$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 33.

$$a=8 b=25$$

Γράψτε πάλι το 10x^{2}+33x+20 ως \left(10x^{2}+8x\right)+\left(25x+20\right).

$$\left(10x^{2}+8x\right)+\left(25x+20\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(5x+4\right)+5\left(5x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x+4\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}+33x+20=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 10\times 20}}{2\times 10}$$

Υψώστε το 33 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 10\times 20}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-40\times 20}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί 20.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 1089 και το -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$x=\frac{-33±17}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-33±17}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -33 και το 17.

$$x=-\frac{16}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-33±17}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από -33.

$$x=-\frac{50}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-50}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{4}{5} με το x_{1} και το -\frac{5}{2} με το x_{2}.

$$10x^{2}+33x+20=10\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$10x^{2}+33x+20=10\left(x+\frac{4}{5}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{4}{5} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10x^{2}+33x+20=10\times \frac{5x+4}{5}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10x^{2}+33x+20=10\times \frac{5x+4}{5}\times \frac{2x+5}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5x+4}{5} επί \frac{2x+5}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$10x^{2}+33x+20=10\times \frac{\left(5x+4\right)\left(2x+5\right)}{5\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 2.

$$10x^{2}+33x+20=10\times \frac{\left(5x+4\right)\left(2x+5\right)}{10}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 10 σε 10 και 10.

$$10x^{2}+33x+20=\left(5x+4\right)\left(2x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2x+5\right)\left(5x+4\right)$$