Επίλυση 10x^2+19x+6

$$10 x ^ { 2 } + 19 x + 6$$

Παράγοντας

$$\left(2x+3\right)\left(5x+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10x^{2}+ax+bx+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=19 ab=10\times 6=60$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 19.

$$a=4 b=15$$

Γράψτε πάλι το 10x^{2}+19x+6 ως \left(10x^{2}+4x\right)+\left(15x+6\right).

$$\left(10x^{2}+4x\right)+\left(15x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(5x+2\right)+3\left(5x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x+2\right)\left(2x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}+19x+6=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

Υψώστε το 19 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 10\times 6}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-40\times 6}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 361 και το -240.

$$x=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-19±11}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$x=\frac{-19±11}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-19±11}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -19 και το 11.

$$x=-\frac{8}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-19±11}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -19.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{2}{5} με το x_{1} και το -\frac{3}{2} με το x_{2}.

$$10x^{2}+19x+6=10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$10x^{2}+19x+6=10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{5} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10x^{2}+19x+6=10\times \frac{5x+2}{5}\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10x^{2}+19x+6=10\times \frac{5x+2}{5}\times \frac{2x+3}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5x+2}{5} επί \frac{2x+3}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$10x^{2}+19x+6=10\times \frac{\left(5x+2\right)\left(2x+3\right)}{5\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 2.

$$10x^{2}+19x+6=10\times \frac{\left(5x+2\right)\left(2x+3\right)}{10}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 10 σε 10 και 10.

$$10x^{2}+19x+6=\left(5x+2\right)\left(2x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2x+3\right)\left(5x+2\right)$$