Επίλυση 10x^2+160=(-4x-8)^2

$$10 x ^ { 2 } + 160 = ( - 4 x - 8 ) ^ { 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=-12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-4x-8\right)^{2}.

$$10x^{2}+160=16x^{2}+64x+64$$

Αφαιρέστε 16x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+160-16x^{2}=64x+64$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -16x^{2} για να λάβετε -6x^{2}.

$$-6x^{2}+160=64x+64$$

Αφαιρέστε 64x και από τις δύο πλευρές.

$$-6x^{2}+160-64x=64$$

Αφαιρέστε 64 και από τις δύο πλευρές.

$$-6x^{2}+160-64x-64=0$$

Αφαιρέστε 64 από 160 για να λάβετε 96.

$$-6x^{2}+96-64x=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$-3x^{2}+48-32x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-3x^{2}-32x+48=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3x^{2}+ax+bx+48. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-32 ab=-3\times 48=-144$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -32.

$$a=4 b=-36$$

Γράψτε πάλι το -3x^{2}-32x+48 ως \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-36x+48\right).

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-36x+48\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -12 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(3x-4\right)-12\left(3x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-12\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-4=0 και -x-12=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-12$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-4x-8\right)^{2}.

$$10x^{2}+160=16x^{2}+64x+64$$

Αφαιρέστε 16x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+160-16x^{2}=64x+64$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -16x^{2} για να λάβετε -6x^{2}.

$$-6x^{2}+160=64x+64$$

Αφαιρέστε 64x και από τις δύο πλευρές.

$$-6x^{2}+160-64x=64$$

Αφαιρέστε 64 και από τις δύο πλευρές.

$$-6x^{2}+160-64x-64=0$$

Αφαιρέστε 64 από 160 για να λάβετε 96.

$$-6x^{2}+96-64x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-6x^{2}-64x+96=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -6, το b με -64 και το c με 96 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\left(-6\right)\times 96}}{2\left(-6\right)}$$

Υψώστε το -64 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\left(-6\right)\times 96}}{2\left(-6\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -6.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096+24\times 96}}{2\left(-6\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 24 επί 96.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096+2304}}{2\left(-6\right)}$$

Προσθέστε το 4096 και το 2304.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{6400}}{2\left(-6\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 6400.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±80}{2\left(-6\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -64 είναι 64.

$$x=\frac{64±80}{2\left(-6\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -6.

$$x=\frac{64±80}{-12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{64±80}{-12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 64 και το 80.

$$x=\frac{144}{-12}$$

Διαιρέστε το 144 με το -12.

$$x=-12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{64±80}{-12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 80 από 64.

$$x=-\frac{16}{-12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{-12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{4}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-12 x=\frac{4}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(-4x-8\right)^{2}.

$$10x^{2}+160=16x^{2}+64x+64$$

Αφαιρέστε 16x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+160-16x^{2}=64x+64$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -16x^{2} για να λάβετε -6x^{2}.

$$-6x^{2}+160=64x+64$$

Αφαιρέστε 64x και από τις δύο πλευρές.

$$-6x^{2}+160-64x=64$$

Αφαιρέστε 160 και από τις δύο πλευρές.

$$-6x^{2}-64x=64-160$$

Αφαιρέστε 160 από 64 για να λάβετε -96.

$$-6x^{2}-64x=-96$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -6.

$$\frac{-6x^{2}-64x}{-6}=-\frac{96}{-6}$$

Η διαίρεση με το -6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -6.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{-6}\right)x=-\frac{96}{-6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-64}{-6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{32}{3}x=-\frac{96}{-6}$$

Διαιρέστε το -96 με το -6.

$$x^{2}+\frac{32}{3}x=16$$

Διαιρέστε το \frac{32}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{16}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{16}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{32}{3}x+\left(\frac{16}{3}\right)^{2}=16+\left(\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{16}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=16+\frac{256}{9}$$

Προσθέστε το 16 και το \frac{256}{9}.

$$x^{2}+\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{400}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{16}{3}=\frac{20}{3} x+\frac{16}{3}=-\frac{20}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{16}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{4}{3} x=-12$$