Επίλυση 10p^2+9p+2

$$10 p ^ { 2 } + 9 p + 2$$

Παράγοντας

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10p^{2}+ap+bp+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=9 ab=10\times 2=20$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 9.

$$a=4 b=5$$

Γράψτε πάλι το 10p^{2}+9p+2 ως \left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right).

$$\left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2p στην εξίσωση 10p^{2}+4p.

$$2p\left(5p+2\right)+5p+2$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5p+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$10p^{2}+9p+2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-40\times 2}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί 2.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 81 και το -80.

$$p=\frac{-9±\sqrt{1}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$p=\frac{-9±1}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$p=\frac{-9±1}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{-9±1}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 1.

$$p=-\frac{8}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{-9±1}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από -9.

$$p=-\frac{10}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$p=-\frac{1}{2}$$

Παραγοντοποιήστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας τον κανόνα ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{2}{5} με x_{1} και το -\frac{1}{2} με x_{2}.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(p-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p+\frac{2}{5}\right)\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{5} και το p βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το p βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\times \frac{2p+1}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5p+2}{5} επί \frac{2p+1}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{5\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 2.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{10}$$

Απαλοιφή του 10, του μέγιστου κοινού παράγοντα σε 10 και 10.

$$10p^{2}+9p+2=\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$