Επίλυση 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Λύση ως προς k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10k^{2}+ak+bk-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$-1,10 -2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 9.

$$a=-1 b=10$$

Γράψτε πάλι το 10k^{2}+9k-1 ως \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το k στην εξίσωση 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 10k-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 10k-1=0 και k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 10, το b με 9 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 81 και το 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-9±11}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση k=\frac{-9±11}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Διαιρέστε το -20 με το 20.

$$k=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Η αφαίρεση του -1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Αφαιρέστε -1 από 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Η διαίρεση με το 10 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Διαιρέστε το \frac{9}{10}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{9}{20}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{9}{20} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{9}{20} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Προσθέστε το \frac{1}{10} και το \frac{81}{400} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Παραγον k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Απλοποιήστε.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Αφαιρέστε \frac{9}{20} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$