Επίλυση 10x^2-107x+187

$$10 { x }^{ 2 } -107x+187$$

Παράγοντας

$$\left(2x-17\right)\left(5x-11\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10x^{2}+ax+bx+187. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-107 ab=10\times 187=1870$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 1870.

$$-1,-1870 -2,-935 -5,-374 -10,-187 -11,-170 -17,-110 -22,-85 -34,-55$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-1870=-1871 -2-935=-937 -5-374=-379 -10-187=-197 -11-170=-181 -17-110=-127 -22-85=-107 -34-55=-89$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -107.

$$a=-85 b=-22$$

Γράψτε πάλι το 10x^{2}-107x+187 ως \left(10x^{2}-85x\right)+\left(-22x+187\right).

$$\left(10x^{2}-85x\right)+\left(-22x+187\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο -11 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(2x-17\right)-11\left(2x-17\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-17 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-17\right)\left(5x-11\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}-107x+187=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-107\right)±\sqrt{\left(-107\right)^{2}-4\times 10\times 187}}{2\times 10}$$

Υψώστε το -107 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-107\right)±\sqrt{11449-4\times 10\times 187}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$x=\frac{-\left(-107\right)±\sqrt{11449-40\times 187}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί 187.

$$x=\frac{-\left(-107\right)±\sqrt{11449-7480}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 11449 και το -7480.

$$x=\frac{-\left(-107\right)±\sqrt{3969}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 3969.

$$x=\frac{-\left(-107\right)±63}{2\times 10}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -107 είναι 107.

$$x=\frac{107±63}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$x=\frac{107±63}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{107±63}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 107 και το 63.

$$x=\frac{170}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{170}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=\frac{17}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{107±63}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 63 από 107.

$$x=\frac{44}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{44}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{11}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{17}{2} με το x_{1} και το \frac{11}{5} με το x_{2}.

$$10x^{2}-107x+187=10\left(x-\frac{17}{2}\right)\left(x-\frac{11}{5}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{17}{2} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10x^{2}-107x+187=10\times \frac{2x-17}{2}\left(x-\frac{11}{5}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{11}{5} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10x^{2}-107x+187=10\times \frac{2x-17}{2}\times \frac{5x-11}{5}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2x-17}{2} επί \frac{5x-11}{5} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$10x^{2}-107x+187=10\times \frac{\left(2x-17\right)\left(5x-11\right)}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$10x^{2}-107x+187=10\times \frac{\left(2x-17\right)\left(5x-11\right)}{10}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 10 σε 10 και 10.

$$10x^{2}-107x+187=\left(2x-17\right)\left(5x-11\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2x-17\right)\left(5x-11\right)$$