Επίλυση 10x^2+17x-20

$$10 { x }^{ 2 } +17x-20$$

Παράγοντας

$$\left(5x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 10x^{2}+ax+bx-20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=17 ab=10\left(-20\right)=-200$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -200.

$$-1,200 -2,100 -4,50 -5,40 -8,25 -10,20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+200=199 -2+100=98 -4+50=46 -5+40=35 -8+25=17 -10+20=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 17.

$$a=-8 b=25$$

Γράψτε πάλι το 10x^{2}+17x-20 ως \left(10x^{2}-8x\right)+\left(25x-20\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(25x-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(5x-4\right)+5\left(5x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$10x^{2}+17x-20=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 10\left(-20\right)}}{2\times 10}$$

Υψώστε το 17 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 10\left(-20\right)}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-40\left(-20\right)}}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το -40 επί -20.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+800}}{2\times 10}$$

Προσθέστε το 289 και το 800.

$$x=\frac{-17±\sqrt{1089}}{2\times 10}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1089.

$$x=\frac{-17±33}{2\times 10}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 10.

$$x=\frac{-17±33}{20}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±33}{20} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -17 και το 33.

$$x=\frac{16}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±33}{20} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 33 από -17.

$$x=-\frac{50}{20}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-50}{20} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 10.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{4}{5} με το x_{1} και το -\frac{5}{2} με το x_{2}.

$$10x^{2}+17x-20=10\left(x-\frac{4}{5}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$10x^{2}+17x-20=10\left(x-\frac{4}{5}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{4}{5} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10x^{2}+17x-20=10\times \frac{5x-4}{5}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$10x^{2}+17x-20=10\times \frac{5x-4}{5}\times \frac{2x+5}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5x-4}{5} επί \frac{2x+5}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$10x^{2}+17x-20=10\times \frac{\left(5x-4\right)\left(2x+5\right)}{5\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 5 επί 2.

$$10x^{2}+17x-20=10\times \frac{\left(5x-4\right)\left(2x+5\right)}{10}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 10 σε 10 και 10.

$$10x^{2}+17x-20=\left(5x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(5x-4\right)\left(2x+5\right)$$