Επίλυση 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Λύση ως προς x

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Συνδυάστε το 10x και το 10x για να λάβετε 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Αφαιρέστε 11 και από τις δύο πλευρές.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Αφαιρέστε 11 από 8 για να λάβετε -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 7x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -21.

$$-1,21 -3,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 20.

$$a=-1 b=21$$

Γράψτε πάλι το 7x^{2}+20x-3 ως \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right).

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 3 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 7x-1=0 και x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Συνδυάστε το 10x και το 10x για να λάβετε 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Αφαιρέστε 11 και από τις δύο πλευρές.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Αφαιρέστε 11 από 8 για να λάβετε -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 7, το b με 20 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Υψώστε το 20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 400 και το 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20±22}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -20 και το 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20±22}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 22 από -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Διαιρέστε το -42 με το 14.

$$x=-3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Προσθήκη 10x και στις δύο πλευρές.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Συνδυάστε το 10x και το 10x για να λάβετε 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Αφαιρέστε 8 από 11 για να λάβετε 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

Η διαίρεση με το 7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 7.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Διαιρέστε το \frac{20}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{10}{7}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{10}{7} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{10}{7} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Προσθέστε το \frac{3}{7} και το \frac{100}{49} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Αφαιρέστε \frac{10}{7} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$