Επίλυση 10^2+x^2=8^2-(12-x)^2

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7,348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7,348469228i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Υπολογίστε το 10στη δύναμη του 2 και λάβετε 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 8στη δύναμη του 2 και λάβετε 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 144-24x+x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Αφαιρέστε 144 από 64 για να λάβετε -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Αφαιρέστε -80 και από τις δύο πλευρές.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -80 είναι 80.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

Αφαιρέστε 24x και από τις δύο πλευρές.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

Προσθέστε 100 και 80 για να λάβετε 180.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -24 και το c με 180 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -24 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 180.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 576 και το -1440.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -864.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -24 είναι 24.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 24 και το 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

Διαιρέστε το 24+12i\sqrt{6} με το 4.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12i\sqrt{6} από 24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

Διαιρέστε το 24-12i\sqrt{6} με το 4.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Υπολογίστε το 10στη δύναμη του 2 και λάβετε 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 8στη δύναμη του 2 και λάβετε 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 144-24x+x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Αφαιρέστε 144 από 64 για να λάβετε -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Αφαιρέστε 24x και από τις δύο πλευρές.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

Αφαιρέστε 100 και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

Αφαιρέστε 100 από -80 για να λάβετε -180.

$$2x^{2}-24x=-180$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

Διαιρέστε το -24 με το 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

Διαιρέστε το -180 με το 2.

$$x^{2}-12x=-90$$

Διαιρέστε το -12, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -6. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

Προσθέστε το -90 και το 36.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

Παραγον x^{2}-12x+36. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

Απλοποιήστε.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

Προσθέστε 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$