Επίλυση 1-2/x+1-4/x^2-1=x/1-x

$$1 - \frac { 2 } { x + 1 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 1 } = \frac { x } { 1 - x }$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+1,x^{2}-1,1-x.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)-\left(x-1\right)\times 2-4=-\left(1+x\right)x$$

Υπολογίστε \left(x-1\right)\left(x+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-1-\left(x-1\right)\times 2-4=-\left(1+x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 2.

$$x^{2}-1-\left(2x-2\right)-4=-\left(1+x\right)x$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 2x-2, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}-1-2x+2-4=-\left(1+x\right)x$$

Προσθέστε -1 και 2 για να λάβετε 1.

$$x^{2}+1-2x-4=-\left(1+x\right)x$$

Αφαιρέστε 4 από 1 για να λάβετε -3.

$$x^{2}-3-2x=-\left(1+x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -1 με το 1+x.

$$x^{2}-3-2x=\left(-1-x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -1-x με το x.

$$x^{2}-3-2x=-x-x^{2}$$

Προσθήκη x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3-2x+x=-x^{2}$$

Συνδυάστε το -2x και το x για να λάβετε -x.

$$x^{2}-3-x=-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3-x+x^{2}=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-3-x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$2x^{2}-x-3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$1,-6 2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-3 b=2$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-x-3 ως \left(2x^{2}-3x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(2x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 2x^{2}-3x.

$$x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-3\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-3=0 και x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -1.

$$x=\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+1,x^{2}-1,1-x.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)-\left(x-1\right)\times 2-4=-\left(1+x\right)x$$

Υπολογίστε \left(x-1\right)\left(x+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-1-\left(x-1\right)\times 2-4=-\left(1+x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 2.

$$x^{2}-1-\left(2x-2\right)-4=-\left(1+x\right)x$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 2x-2, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}-1-2x+2-4=-\left(1+x\right)x$$

Προσθέστε -1 και 2 για να λάβετε 1.

$$x^{2}+1-2x-4=-\left(1+x\right)x$$

Αφαιρέστε 4 από 1 για να λάβετε -3.

$$x^{2}-3-2x=-\left(1+x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -1 με το 1+x.

$$x^{2}-3-2x=\left(-1-x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -1-x με το x.

$$x^{2}-3-2x=-x-x^{2}$$

Προσθήκη x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3-2x+x=-x^{2}$$

Συνδυάστε το -2x και το x για να λάβετε -x.

$$x^{2}-3-x=-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3-x+x^{2}=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-3-x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}-x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -1 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 1 και το 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±5}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{1±5}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±5}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 5.

$$x=\frac{6}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±5}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 1.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Διαιρέστε το -4 με το 4.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3}{2} x=-1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -1.

$$x=\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+1,x^{2}-1,1-x.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)-\left(x-1\right)\times 2-4=-\left(1+x\right)x$$

Υπολογίστε \left(x-1\right)\left(x+1\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-1-\left(x-1\right)\times 2-4=-\left(1+x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 2.

$$x^{2}-1-\left(2x-2\right)-4=-\left(1+x\right)x$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 2x-2, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}-1-2x+2-4=-\left(1+x\right)x$$

Προσθέστε -1 και 2 για να λάβετε 1.

$$x^{2}+1-2x-4=-\left(1+x\right)x$$

Αφαιρέστε 4 από 1 για να λάβετε -3.

$$x^{2}-3-2x=-\left(1+x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -1 με το 1+x.

$$x^{2}-3-2x=\left(-1-x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -1-x με το x.

$$x^{2}-3-2x=-x-x^{2}$$

Προσθήκη x και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3-2x+x=-x^{2}$$

Συνδυάστε το -2x και το x για να λάβετε -x.

$$x^{2}-3-x=-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3-x+x^{2}=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-3-x=0$$

Προσθήκη 3 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$2x^{2}-x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{3}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το \frac{1}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{25}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$$

Προσθέστε \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{3}{2} x=-1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -1.

$$x=\frac{3}{2}$$