Επίλυση 1(2x-5)^2-09(x+4)^2=0

$$1 ( 2 x - 5 ) ^ { 2 } - 09 ( x + 4 ) ^ { 2 } = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-5\right)^{2}.

$$1\left(4x^{2}-20x+25\right)-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1 με το 4x^{2}-20x+25.

$$4x^{2}-20x+25-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Πολλαπλασιάστε 0 και 9 για να λάβετε 0.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x+4\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x^{2}+8x+16\right)=0$$

Το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με μηδέν.

$$4x^{2}-20x+25-0=0$$

Αναδιατάξτε τους όρους.

$$4x^{2}-20x+25=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx+25. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-20 ab=4\times 25=100$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -20.

$$a=-10 b=-10$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-20x+25 ως \left(4x^{2}-10x\right)+\left(-10x+25\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(-10x+25\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο -5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(2x-5\right)-5\left(2x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-5\right)\left(2x-5\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(2x-5\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το 2x-5=0.

$$x=\frac{5}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-5\right)^{2}.

$$1\left(4x^{2}-20x+25\right)-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1 με το 4x^{2}-20x+25.

$$4x^{2}-20x+25-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Πολλαπλασιάστε 0 και 9 για να λάβετε 0.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x+4\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x^{2}+8x+16\right)=0$$

Το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με μηδέν.

$$4x^{2}-20x+25-0=0$$

Αναδιατάξτε τους όρους.

$$4x^{2}-20x+25=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -20 και το c με 25 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 25}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 25.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-400}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 400 και το -400.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{-20}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -20 είναι 20.

$$x=\frac{20}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{20}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{20}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x-5\right)^{2}.

$$1\left(4x^{2}-20x+25\right)-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1 με το 4x^{2}-20x+25.

$$4x^{2}-20x+25-0\times 9\left(x+4\right)^{2}=0$$

Πολλαπλασιάστε 0 και 9 για να λάβετε 0.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x+4\right)^{2}=0$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25-0\left(x^{2}+8x+16\right)=0$$

Το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με μηδέν.

$$4x^{2}-20x+25-0=0$$

Προσθήκη 0 και στις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-20x+25=0+0$$

Προσθέστε 0 και 0 για να λάβετε 0.

$$4x^{2}-20x+25=0$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$4x^{2}-20x=-25$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{25}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{25}{4}$$

Διαιρέστε το -20 με το 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{25}{4}$$

Διαιρέστε το -5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-25+25}{4}$$

Προσθέστε το -\frac{25}{4} και το \frac{25}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=0$$

Παραγον x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{2}=0 x-\frac{5}{2}=0$$

Προσθέστε \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{5}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=\frac{5}{2}$$