Επίλυση 1+sqrt{2}+1/sqrt{2+sqrt{3}}+1/sqrt{3+sqrt{4}}=?

$$1 + \sqrt { 2 } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 4 } } = ?$$

Υπολογισμός

$$3$$

Βήματα λύσης

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \sqrt{2}-\sqrt{3}.

$$1+\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$

Υπολογίστε \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$1+\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$

Υψώστε το \sqrt{2} στο τετράγωνο. Υψώστε το \sqrt{3} στο τετράγωνο.

$$1+\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$

Αφαιρέστε 3 από 2 για να λάβετε -1.

$$1+\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$

Οτιδήποτε διαιρείται με το -1 δίνει το αντίθετό του. Για να βρείτε τον αντίθετο του \sqrt{2}-\sqrt{3}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$1+\sqrt{2}-\sqrt{2}-\left(-\sqrt{3}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$

Συνδυάστε το \sqrt{2} και το -\sqrt{2} για να λάβετε 0.

$$1-\left(-\sqrt{3}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -\sqrt{3} είναι \sqrt{3}.

$$1+\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$

Υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα του 4 και λάβετε 2.

$$1+\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}+2}$$

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{1}{\sqrt{3}+2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \sqrt{3}-2.

$$1+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}-2}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}$$

Υπολογίστε \left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$1+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}-2}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2^{2}}$$

Υψώστε το \sqrt{3} στο τετράγωνο. Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$1+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}$$

Αφαιρέστε 4 από 3 για να λάβετε -1.

$$1+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}-2}{-1}$$

Οτιδήποτε διαιρείται με το -1 δίνει το αντίθετό του. Για να βρείτε τον αντίθετο του \sqrt{3}-2, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$1+\sqrt{3}-\sqrt{3}-\left(-2\right)$$

Συνδυάστε το \sqrt{3} και το -\sqrt{3} για να λάβετε 0.

$$1-\left(-2\right)$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$1+2$$

Προσθέστε 1 και 2 για να λάβετε 3.

$$3$$

Παράγοντας

$$3$$