Επίλυση 0=-4x^2+4x+1

$$0=-4 { x }^{ 2 } +4x+1$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} \approx 1,207106781$$

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}\approx -0,207106781$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$-4x^{2}+4x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -4, το b με 4 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\left(-4\right)}$$

Προσθέστε το 16 και το 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\left(-4\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{-8}$$

Διαιρέστε το -4+4\sqrt{2} με το -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4\sqrt{2} από -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{-8}$$

Διαιρέστε το -4-4\sqrt{2} με το -8.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2} x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$-4x^{2}+4x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-4x^{2}+4x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -4.

$$\frac{-4x^{2}+4x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Η διαίρεση με το -4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -4.

$$x^{2}+\frac{4}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Διαιρέστε το 4 με το -4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-4}$$

Διαιρέστε το -1 με το -4.

$$x^{2}-x=\frac{1}{4}$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το \frac{1}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Παραγον x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$