Επίλυση 0=5n^2+1205n-90300

$$0 = 5 n ^ { 2 } + 1205 n - 90300$$

Λύση ως προς n

$$n=-301$$

$$n=60$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$n^{2}+241n-18060=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως n^{2}+an+bn-18060. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=241 ab=1\left(-18060\right)=-18060$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18060.

$$-1,18060 -2,9030 -3,6020 -4,4515 -5,3612 -6,3010 -7,2580 -10,1806 -12,1505 -14,1290 -15,1204 -20,903 -21,860 -28,645 -30,602 -35,516 -42,430 -43,420 -60,301 -70,258 -84,215 -86,210 -105,172 -129,140$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+18060=18059 -2+9030=9028 -3+6020=6017 -4+4515=4511 -5+3612=3607 -6+3010=3004 -7+2580=2573 -10+1806=1796 -12+1505=1493 -14+1290=1276 -15+1204=1189 -20+903=883 -21+860=839 -28+645=617 -30+602=572 -35+516=481 -42+430=388 -43+420=377 -60+301=241 -70+258=188 -84+215=131 -86+210=124 -105+172=67 -129+140=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 241.

$$a=-60 b=301$$

Γράψτε πάλι το n^{2}+241n-18060 ως \left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right).

$$\left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right)$$

Παραγοντοποιήστε n στο πρώτο και στο 301 της δεύτερης ομάδας.

$$n\left(n-60\right)+301\left(n-60\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-60 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-60\right)\left(n+301\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-60=0 και n+301=0.

$$n=60 n=-301$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 1205 και το c με -90300 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1205^{2}-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 1205 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-20\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -90300.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025+1806000}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 1452025 και το 1806000.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{3258025}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 3258025.

$$n=\frac{-1205±1805}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$n=\frac{-1205±1805}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-1205±1805}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1205 και το 1805.

$$n=\frac{600}{10}$$

Διαιρέστε το 600 με το 10.

$$n=60$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-1205±1805}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1805 από -1205.

$$n=-\frac{3010}{10}$$

Διαιρέστε το -3010 με το 10.

$$n=-301$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=60 n=-301$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Προσθήκη 90300 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$5n^{2}+1205n=90300$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5n^{2}+1205n}{5}=\frac{90300}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$n^{2}+\frac{1205}{5}n=\frac{90300}{5}$$

Διαιρέστε το 1205 με το 5.

$$n^{2}+241n=\frac{90300}{5}$$

Διαιρέστε το 90300 με το 5.

$$n^{2}+241n=18060$$

Διαιρέστε το 241, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{241}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{241}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}+241n+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}=18060+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{241}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=18060+\frac{58081}{4}$$

Προσθέστε το 18060 και το \frac{58081}{4}.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=\frac{130321}{4}$$

Παραγον n^{2}+241n+\frac{58081}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}=\frac{130321}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{130321}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$n+\frac{241}{2}=\frac{361}{2} n+\frac{241}{2}=-\frac{361}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{241}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=60 n=-301$$