Επίλυση 0=4x^2-x-3

$$0 = 4 x ^ { 2 } - x - 3$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-4 b=3$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-x-3 ως \left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$4x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 4x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -1 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 1 και το 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{1±7}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±7}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 7.

$$x=\frac{8}{8}$$

Διαιρέστε το 8 με το 8.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±7}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από 1.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Προσθήκη 3 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$4x^{2}-x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{3}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

Προσθέστε το \frac{3}{4} και το \frac{1}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

Προσθέστε \frac{1}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$