Επίλυση 0=-5x^2+5x+30

$$0 = - 5 x ^ { 2 } + 5 x + 30$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$-5x^{2}+5x+30=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$-x^{2}+x+6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=-6=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$-1,6 -2,3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=3 b=-2$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+x+6 ως \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-2x+6\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-2x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(-x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και -x-2=0.

$$x=3 x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$-5x^{2}+5x+30=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -5, το b με 5 και το c με 30 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-5\right)\times 30}}{2\left(-5\right)}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-5\right)\times 30}}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+20\times 30}}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 20 επί 30.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+600}}{2\left(-5\right)}$$

Προσθέστε το 25 και το 600.

$$x=\frac{-5±\sqrt{625}}{2\left(-5\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 625.

$$x=\frac{-5±25}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -5.

$$x=\frac{-5±25}{-10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±25}{-10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 25.

$$x=\frac{20}{-10}$$

Διαιρέστε το 20 με το -10.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±25}{-10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 25 από -5.

$$x=-\frac{30}{-10}$$

Διαιρέστε το -30 με το -10.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-2 x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$-5x^{2}+5x+30=0$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-5x^{2}+5x=-30$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -5.

$$\frac{-5x^{2}+5x}{-5}=-\frac{30}{-5}$$

Η διαίρεση με το -5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -5.

$$x^{2}+\frac{5}{-5}x=-\frac{30}{-5}$$

Διαιρέστε το 5 με το -5.

$$x^{2}-x=-\frac{30}{-5}$$

Διαιρέστε το -30 με το -5.

$$x^{2}-x=6$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 6 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Παραγον x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-2$$