Επίλυση 0=(2y-1)(8-y)

$$0 = ( 2 y - 1 ) ( 8 - y )$$

Λύση ως προς y

$$y=8$$

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2y-1 με το 8-y και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$0=17y-2y^{2}-8$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$17y-2y^{2}-8=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-2y^{2}+17y-8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -2y^{2}+ay+by-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=17 ab=-2\left(-8\right)=16$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 17.

$$a=16 b=1$$

Γράψτε πάλι το -2y^{2}+17y-8 ως \left(-2y^{2}+16y\right)+\left(y-8\right).

$$\left(-2y^{2}+16y\right)+\left(y-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2y στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$2y\left(-y+8\right)-\left(-y+8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -y+8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-y+8\right)\left(2y-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -y+8=0 και 2y-1=0.

$$y=8 y=\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2y-1 με το 8-y και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$0=17y-2y^{2}-8$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$17y-2y^{2}-8=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-2y^{2}+17y-8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με 17 και το c με -8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 17 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289+8\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί -8.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289-64}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 289 και το -64.

$$y=\frac{-17±\sqrt{225}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 225.

$$y=\frac{-17±15}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$y=\frac{-17±15}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-17±15}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -17 και το 15.

$$y=-\frac{2}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-17±15}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 15 από -17.

$$y=-\frac{32}{-4}$$

Διαιρέστε το -32 με το -4.

$$y=8$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=\frac{1}{2} y=8$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2y-1 με το 8-y και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$0=17y-2y^{2}-8$$

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$17y-2y^{2}-8=0$$

Προσθήκη 8 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$17y-2y^{2}=8$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-2y^{2}+17y=8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2y^{2}+17y}{-2}=\frac{8}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$y^{2}+\frac{17}{-2}y=\frac{8}{-2}$$

Διαιρέστε το 17 με το -2.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y=\frac{8}{-2}$$

Διαιρέστε το 8 με το -2.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y=-4$$

Διαιρέστε το -\frac{17}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{17}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{17}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{17}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y+\frac{289}{16}=-4+\frac{289}{16}$$

Προσθέστε το -4 και το \frac{289}{16}.

$$y^{2}-\frac{17}{2}y+\frac{289}{16}=\frac{225}{16}$$

Παραγον y^{2}-\frac{17}{2}y+\frac{289}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{17}{4}=\frac{15}{4} y-\frac{17}{4}=-\frac{15}{4}$$

Προσθέστε \frac{17}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=8 y=\frac{1}{2}$$