Επίλυση -9x^2+x+3=0

$$-9 { x }^{ 2 } +x+3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{18}\approx 0,635572584$$

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{18}\approx -0,524461473$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-9x^{2}+x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -9, το b με 1 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -9.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 36 επί 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+108}}{2\left(-9\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 108.

$$x=\frac{-1±\sqrt{109}}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -9.

$$x=\frac{-1±\sqrt{109}}{-18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±\sqrt{109}}{-18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}-1}{-18}$$

Διαιρέστε το -1+\sqrt{109} με το -18.

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±\sqrt{109}}{-18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{109} από -1.

$$x=\frac{-\sqrt{109}-1}{-18}$$

Διαιρέστε το -1-\sqrt{109} με το -18.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{18}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{18} x=\frac{\sqrt{109}+1}{18}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+x+3=0$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-9x^{2}+x+3-3=-3$$

Η αφαίρεση του 3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-9x^{2}+x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -9.

$$\frac{-9x^{2}+x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Η διαίρεση με το -9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -9.

$$x^{2}+\frac{1}{-9}x=-\frac{3}{-9}$$

Διαιρέστε το 1 με το -9.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x=-\frac{3}{-9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-3}{-9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x=\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{9}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{18}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{18} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{1}{3}+\frac{1}{324}$$

Προσθέστε το \frac{1}{3} και το \frac{1}{324} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{109}{324}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{109}{324}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{324}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{18}=\frac{\sqrt{109}}{18} x-\frac{1}{18}=-\frac{\sqrt{109}}{18}$$

Προσθέστε \frac{1}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{18} x=\frac{1-\sqrt{109}}{18}$$