Επίλυση -4a^2-3a+1=0

$$-4 { a }^{ 2 } -3a+1 = 0$$

Λύση ως προς a

$$a=\frac{1}{4}=0,25$$

$$a=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -4a^{2}+aa+ba+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4.

$$1,-4 2,-2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=1 b=-4$$

Γράψτε πάλι το -4a^{2}-3a+1 ως \left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right).

$$\left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε -a στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-a\left(4a-1\right)-\left(4a-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4a-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4a-1\right)\left(-a-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 4a-1=0 και -a-1=0.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -4, το b με -3 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -4.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το 16.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$a=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -4.

$$a=\frac{3±5}{-8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{3±5}{-8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 5.

$$a=\frac{8}{-8}$$

Διαιρέστε το 8 με το -8.

$$a=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{3±5}{-8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 3.

$$a=-\frac{2}{-8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{-8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$a=-1 a=\frac{1}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-4a^{2}-3a+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-4a^{2}-3a=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -4.

$$\frac{-4a^{2}-3a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Η διαίρεση με το -4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -4.

$$a^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

Διαιρέστε το -3 με το -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

Διαιρέστε το -1 με το -4.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Προσθέστε το \frac{1}{4} και το \frac{9}{64} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Παραγον a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$a+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} a+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$