Επίλυση -16y^2+148y-252

$$-16 { y }^{ 2 } +148y-252$$

Παράγοντας

$$4\left(7-y\right)\left(4y-9\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 4.

$$4\left(-4y^{2}+37y-63\right)$$

Υπολογίστε -4y^{2}+37y-63. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως -4y^{2}+ay+by-63. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=37 ab=-4\left(-63\right)=252$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 252.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 37.

$$a=28 b=9$$

Γράψτε πάλι το -4y^{2}+37y-63 ως \left(-4y^{2}+28y\right)+\left(9y-63\right).

$$\left(-4y^{2}+28y\right)+\left(9y-63\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4y στο πρώτο και στο -9 της δεύτερης ομάδας.

$$4y\left(-y+7\right)-9\left(-y+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -y+7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-y+7\right)\left(4y-9\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$4\left(-y+7\right)\left(4y-9\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$-16y^{2}+148y-252=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-148±\sqrt{148^{2}-4\left(-16\right)\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Υψώστε το 148 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904-4\left(-16\right)\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -16.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904+64\left(-252\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 64 επί -252.

$$y=\frac{-148±\sqrt{21904-16128}}{2\left(-16\right)}$$

Προσθέστε το 21904 και το -16128.

$$y=\frac{-148±\sqrt{5776}}{2\left(-16\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 5776.

$$y=\frac{-148±76}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -16.

$$y=\frac{-148±76}{-32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-148±76}{-32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -148 και το 76.

$$y=-\frac{72}{-32}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-72}{-32} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$y=\frac{9}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-148±76}{-32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 76 από -148.

$$y=-\frac{224}{-32}$$

Διαιρέστε το -224 με το -32.

$$y=7$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{9}{4} με το x_{1} και το 7 με το x_{2}.

$$-16y^{2}+148y-252=-16\left(y-\frac{9}{4}\right)\left(y-7\right)$$

Αφαιρέστε y από \frac{9}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$-16y^{2}+148y-252=-16\times \frac{-4y+9}{-4}\left(y-7\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε -16 και 4.

$$-16y^{2}+148y-252=4\left(-4y+9\right)\left(y-7\right)$$

Υπολογισμός

$$-16y^{2}+148y-252$$