Επίλυση -16x^2+80x+32=0

$$-16 { x }^{ 2 } +80x+32=0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{33} + 5}{2} \approx 5,372281323$$

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{2}\approx -0,372281323$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-16x^{2}+80x+32=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -16, το b με 80 και το c με 32 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\left(-16\right)\times 32}}{2\left(-16\right)}$$

Υψώστε το 80 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\left(-16\right)\times 32}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -16.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400+64\times 32}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 64 επί 32.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400+2048}}{2\left(-16\right)}$$

Προσθέστε το 6400 και το 2048.

$$x=\frac{-80±\sqrt{8448}}{2\left(-16\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 8448.

$$x=\frac{-80±16\sqrt{33}}{2\left(-16\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -16.

$$x=\frac{-80±16\sqrt{33}}{-32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-80±16\sqrt{33}}{-32} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -80 και το 16\sqrt{33}.

$$x=\frac{16\sqrt{33}-80}{-32}$$

Διαιρέστε το -80+16\sqrt{33} με το -32.

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-80±16\sqrt{33}}{-32} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16\sqrt{33} από -80.

$$x=\frac{-16\sqrt{33}-80}{-32}$$

Διαιρέστε το -80-16\sqrt{33} με το -32.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{2} x=\frac{\sqrt{33}+5}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-16x^{2}+80x+32=0$$

Αφαιρέστε 32 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-16x^{2}+80x+32-32=-32$$

Η αφαίρεση του 32 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-16x^{2}+80x=-32$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -16.

$$\frac{-16x^{2}+80x}{-16}=-\frac{32}{-16}$$

Η διαίρεση με το -16 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -16.

$$x^{2}+\frac{80}{-16}x=-\frac{32}{-16}$$

Διαιρέστε το 80 με το -16.

$$x^{2}-5x=-\frac{32}{-16}$$

Διαιρέστε το -32 με το -16.

$$x^{2}-5x=2$$

Διαιρέστε το -5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=2+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το 2 και το \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{33}{4}$$

Παραγον x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

Προσθέστε \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$$