Επίλυση -144x^2+9x-9=0

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0,03125+0,248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0,03125-0,248039185i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -144, το b με 9 και το c με -9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -144.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 576 επί -9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

Προσθέστε το 81 και το -5184.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -5103.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -144.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 27i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

Διαιρέστε το -9+27i\sqrt{7} με το -288.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 27i\sqrt{7} από -9.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

Διαιρέστε το -9-27i\sqrt{7} με το -288.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Προσθέστε 9 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Η αφαίρεση του -9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

Αφαιρέστε -9 από 0.

$$-144x^{2}+9x=9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -144.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

Η διαίρεση με το -144 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -144.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{9}{-144} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{9}{-144} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{16}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{32}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{32} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{32} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{16} και το \frac{1}{1024} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

Παραγον x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

Προσθέστε \frac{1}{32} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$