Επίλυση -x^2+40x=384

$$- x ^ { 2 } + 40 x = 384$$

Λύση ως προς x

$$x=16$$

$$x=24$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 384 και από τις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+40x-384=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-384. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=40 ab=-\left(-384\right)=384$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 384.

$$1,384 2,192 3,128 4,96 6,64 8,48 12,32 16,24$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+384=385 2+192=194 3+128=131 4+96=100 6+64=70 8+48=56 12+32=44 16+24=40$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 40.

$$a=24 b=16$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+40x-384 ως \left(-x^{2}+24x\right)+\left(16x-384\right).

$$\left(-x^{2}+24x\right)+\left(16x-384\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 16 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-24\right)+16\left(x-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-24 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-24\right)\left(-x+16\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-24=0 και -x+16=0.

$$x=24 x=16$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+40x=384$$

Αφαιρέστε 384 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-x^{2}+40x-384=384-384$$

Η αφαίρεση του 384 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-x^{2}+40x-384=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 40 και το c με -384 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-1\right)\left(-384\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 40 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\left(-384\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+4\left(-384\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -384.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-1536}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 1600 και το -1536.

$$x=\frac{-40±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 64.

$$x=\frac{-40±8}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-40±8}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-40±8}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -40 και το 8.

$$x=-\frac{32}{-2}$$

Διαιρέστε το -32 με το -2.

$$x=16$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-40±8}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8 από -40.

$$x=-\frac{48}{-2}$$

Διαιρέστε το -48 με το -2.

$$x=24$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=16 x=24$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+40x=384$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+40x}{-1}=\frac{384}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{40}{-1}x=\frac{384}{-1}$$

Διαιρέστε το 40 με το -1.

$$x^{2}-40x=\frac{384}{-1}$$

Διαιρέστε το 384 με το -1.

$$x^{2}-40x=-384$$

Διαιρέστε το -40, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -20. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -20 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=-384+\left(-20\right)^{2}$$

Υψώστε το -20 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-40x+400=-384+400$$

Προσθέστε το -384 και το 400.

$$x^{2}-40x+400=16$$

Παραγον x^{2}-40x+400. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-20\right)^{2}=16$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Απλοποιήστε.

$$x-20=4 x-20=-4$$

Προσθέστε 20 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=24 x=16$$