Επίλυση -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -15.

$$-1,15 -3,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=5 b=-3$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+2x+15 ως \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-5=0 και -x-3=0.

$$x=5 x=-3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 2 και το c με 15 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 4 και το 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 64.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±8}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Διαιρέστε το 6 με το -2.

$$x=-3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±8}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8 από -2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Διαιρέστε το -10 με το -2.

$$x=5$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-3 x=5$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Αφαιρέστε 15 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

Η αφαίρεση του 15 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

Διαιρέστε το 2 με το -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

Διαιρέστε το -15 με το -1.

$$x^{2}-2x=15$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Προσθέστε το 15 και το 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Παραγον x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=5 x=-3$$