Επίλυση -9x^2+12x-3=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 12 x - 3 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=3 b=1$$

Γράψτε πάλι το -3x^{2}+4x-1 ως \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(-x+1\right)-\left(-x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+1\right)\left(3x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+1=0 και 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -9, το b με 12 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+36\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 36 επί -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\left(-9\right)}$$

Προσθέστε το 144 και το -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\left(-9\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 36.

$$x=\frac{-12±6}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -9.

$$x=\frac{-12±6}{-18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±6}{-18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 6.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-6}{-18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±6}{-18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6 από -12.

$$x=-\frac{18}{-18}$$

Διαιρέστε το -18 με το -18.

$$x=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-9x^{2}+12x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Η αφαίρεση του -3 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-9x^{2}+12x=-\left(-3\right)$$

Αφαιρέστε -3 από 0.

$$-9x^{2}+12x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -9.

$$\frac{-9x^{2}+12x}{-9}=\frac{3}{-9}$$

Η διαίρεση με το -9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -9.

$$x^{2}+\frac{12}{-9}x=\frac{3}{-9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{12}{-9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{3}{-9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{3}{-9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{3} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Προσθέστε \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$