Επίλυση -72q^2+12q+40=

$$- 72 q ^ { 2 } + 12 q + 40 =$$

Παράγοντας

$$4\left(5-6q\right)\left(3q+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 4.

$$4\left(-18q^{2}+3q+10\right)$$

Υπολογίστε -18q^{2}+3q+10. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως -18q^{2}+aq+bq+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=-18\times 10=-180$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=15 b=-12$$

Γράψτε πάλι το -18q^{2}+3q+10 ως \left(-18q^{2}+15q\right)+\left(-12q+10\right).

$$\left(-18q^{2}+15q\right)+\left(-12q+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3q στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3q\left(-6q+5\right)+2\left(-6q+5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -6q+5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-6q+5\right)\left(3q+2\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$4\left(-6q+5\right)\left(3q+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$-72q^{2}+12q+40=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$q=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-72\right)\times 40}}{2\left(-72\right)}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$q=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-72\right)\times 40}}{2\left(-72\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -72.

$$q=\frac{-12±\sqrt{144+288\times 40}}{2\left(-72\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 288 επί 40.

$$q=\frac{-12±\sqrt{144+11520}}{2\left(-72\right)}$$

Προσθέστε το 144 και το 11520.

$$q=\frac{-12±\sqrt{11664}}{2\left(-72\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 11664.

$$q=\frac{-12±108}{2\left(-72\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -72.

$$q=\frac{-12±108}{-144}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση q=\frac{-12±108}{-144} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 108.

$$q=\frac{96}{-144}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{96}{-144} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 48.

$$q=-\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση q=\frac{-12±108}{-144} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 108 από -12.

$$q=-\frac{120}{-144}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-120}{-144} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 24.

$$q=\frac{5}{6}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{2}{3} με το x_{1} και το \frac{5}{6} με το x_{2}.

$$-72q^{2}+12q+40=-72\left(q-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(q-\frac{5}{6}\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$-72q^{2}+12q+40=-72\left(q+\frac{2}{3}\right)\left(q-\frac{5}{6}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το q βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$-72q^{2}+12q+40=-72\times \frac{-3q-2}{-3}\left(q-\frac{5}{6}\right)$$

Αφαιρέστε q από \frac{5}{6} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$-72q^{2}+12q+40=-72\times \frac{-3q-2}{-3}\times \frac{-6q+5}{-6}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{-3q-2}{-3} επί \frac{-6q+5}{-6} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$-72q^{2}+12q+40=-72\times \frac{\left(-3q-2\right)\left(-6q+5\right)}{-3\left(-6\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -3 επί -6.

$$-72q^{2}+12q+40=-72\times \frac{\left(-3q-2\right)\left(-6q+5\right)}{18}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 18 σε -72 και 18.

$$-72q^{2}+12q+40=-4\left(-3q-2\right)\left(-6q+5\right)$$

Υπολογισμός

$$40+12q-72q^{2}$$