Επίλυση -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Λύση ως προς b

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5,311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,188262309$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -4, το b με 22 και το c με -4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Υψώστε το 22 στο τετράγωνο.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 16 επί -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Προσθέστε το 484 και το -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 420.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -22 και το 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Διαιρέστε το -22+2\sqrt{105} με το -8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{105} από -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Διαιρέστε το -22-2\sqrt{105} με το -8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Η αφαίρεση του -4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

Αφαιρέστε -4 από 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Η διαίρεση με το -4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -4.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{22}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

Διαιρέστε το 4 με το -4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Διαιρέστε το -\frac{11}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Παραγοντοποιήστε το b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Προσθέστε \frac{11}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$