Επίλυση -3x^2-x+10=0

$$- 3 x ^ { 2 } - x + 10 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-2$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3x^{2}+ax+bx+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=-3\times 10=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=5 b=-6$$

Γράψτε πάλι το -3x^{2}-x+10 ως \left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-6x+10\right).

$$\left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-6x+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(3x-5\right)-2\left(3x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-5=0 και -x-2=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-3x^{2}-x+10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με -1 και το c με 10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 10}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+12\times 10}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί 10.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\left(-3\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±11}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{1±11}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±11}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 11.

$$x=\frac{12}{-6}$$

Διαιρέστε το 12 με το -6.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±11}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από 1.

$$x=-\frac{10}{-6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{-6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-2 x=\frac{5}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-x+10=0$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-3x^{2}-x+10-10=-10$$

Η αφαίρεση του 10 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$-3x^{2}-x=-10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}-x}{-3}=-\frac{10}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-3}\right)x=-\frac{10}{-3}$$

Διαιρέστε το -1 με το -3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{10}{-3}$$

Διαιρέστε το -10 με το -3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{10}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{10}{3}+\frac{1}{36}$$

Προσθέστε το \frac{10}{3} και το \frac{1}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{121}{36}$$

Παραγον x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{11}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{11}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{3} x=-2$$